线性代数中最被低估的真相：矩阵就是图，图就是矩阵。
把矩阵看成图，是破解复杂结构的“作弊码”，让难题变得直观易懂。
—— 每一行代表一个节点，每个元素代表有向加权边（零元素不画边）。第i行第j列的元素，就是从节点i指向节点j的边权。
举例说明：
- 矩阵的“行”对应出边，“列”对应入边。
- 矩阵的幂次（如A²）对应图中所有可能的多步路径。
- 若图是马尔可夫链状态转移图，矩阵幂次直接体现多步转移概率。
更深一层：
强连通分量（Strongly Connected Components）——图中每个节点都能互相抵达的子集，对应矩阵中的“不可约块”。
不可约矩阵 ↔ 强连通图；可约矩阵 ↔ 非强连通图。
通过图，我们能将任意非负矩阵化简为“Frobenius标准形”：
矩阵可划分为对角线上不可约块的块矩阵，且对角线下方块为零。
这个结构揭示了矩阵深层次的内在连接性和简化方式。
此外，矩阵与图的关系帮助我们定义图的特征值，使图论与线代相辅相成，开辟了新的研究视角。
总结一句我写的诗，表达发现这层联系时的感悟：
> “研究结构，剥去表象，直至骨骼显现。”
想深入掌握线性代数与机器学习的基础，而非盲目追新？
欢迎关注我的周报，已有3万+机器学习实践者加入：thepalindrome.org
---
原推文链接：x.com/TivadarDanka/status/1972360678100046072
---
【附加思考】
把矩阵视作图，不仅是数学上的“换个角度”，更是理解复杂系统、网络结构、动态过程的桥梁。
它让抽象的数值变成可视化的路径，让代数运算具备实际意义，有助于机器学习、信号处理、网络分析等领域挖掘本质。
这也提醒我们，数学语言的力量在于多样化的表达方式，掌握其中的转换，能极大拓宽解决问题的视野和效率。
